Mathematics

高数一

只挑我感兴趣的随便一记. 重在理解概念

微分

连续 实际上就是说, 当自变量取某个值时, 函数值存在.并且这个自变量附近的函数值与该点的函数值要差不多…这个附近要多小就多小…

导数 要比连续更加严格,所谓”可导必连续, 连续不一定可导”…

求导公式就不说了, so easy..

光滑曲线 导数存在且连续, 这样函数处处有切线, 切线随着切点的移动而连续的转动.

微分 就是给定函数f(x)的一点x0, 过该点画f(x)切线, 对于一个小的自变量偏移dx, 在区间(x0,x0+dx)内,该切线函数值的增长dy, dy 是 $\Delta f(x)$ 的线性近似

弧微分 对应于微分三角形的斜边…且有关系$ds^2=dx^2+dy^2 $,即$ds=\sqrt{1+f’(x)}dx$

曲率 曲率与曲率半径互为倒数,曲率以及曲率圆的圆心有具体的计算公式.

泰勒级数展开 貌似是物理中最常用的一个公式了,把函数在某点除展开并忽略高阶项

积分

不定积分

性质 线性

原函数存在定理 连续函数必有原函数

第一换元法 实际上可以理解为导数项把dx约掉了…

$$\int f[\psi(x)]\psi'(x)dx=\int f[\psi(x)]\frac{d\psi(x)}{dx}dx=\int f[\psi(x)]d\psi(x)=\int f[u]du$$

第二换元法 跟第一换元法过程相反…

分部积分法 也就是导数的乘法公式的逆运算…

有理函数的积分 假分式可以利用多项式除法 化为多项式以及真分式的和.
真分式的分子次数小于分母

有理真分式的积分
1.将分式因式分解
2.按照分母将分式写为带系数的最简真分式之和的形式

$$\frac{A}{ax+b} ,\frac{A}{(ax+b)^n}, \frac{Mx+N}{x^2+px+q},\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$$

$x^2+px+q$为二次质因式
3.解出未知系数
4.对各项最简真分式进行积分

实际上还是查积分表比较快…例如:
Table of integrals, series, and products by I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik (z-lib.org)
用Mathematica更快
目前不是很清楚是不是有的积分只能查表才有结果

定积分

定积分的性质

1.线性

2.积分区间可加性

3.积分估值

$$m(b-a)\leq\int^b_af(x)dx\leq M(b-a)$$

m和M为积分区间内的最小值和最大值

积分上限函数及其导数

$$G'(x)=\frac{d}{dx}\int^x_b f(t)dt=f(x) (a\leq x \leq b)$$

实际上积分上限函数就是一个原函数(根据导数定义证明)

微积分基本定理

由积分上限函数证明

定积分换元

注意,使用的换元函数需要在新的积分区间上具有连续导数!
所以只需要注意积分变量的变化,以及换元函数是否有连续导数,
积分的其他部分的只需要带入换元函数即可,记得微分一下dx

分部积分

同不定积分,只是每项都有积分上下限

广义积分

1.无穷区间上的积分

$$\int^{+ \infty}_b f(x) dx=\lim_{b \rightarrow+\infty} \int^b_af(x)dx$$

极限收敛,则称为广义积分

2.无界函数的积分

即先当做有界限函数求积分,再令积分限趋近于断点

广义积分审敛法

依靠定义判断是否收敛较为困难, 常用法则:
1.比较
2.柯西
3.绝对值
需要可以去查..貌似也没啥用

$\Gamma$函数

$$\Gamma(s)=\int^{+\infty}_0x^{s-1}e^{-x}dx(s>0)$$

性质

1.递推公式

$$\Gamma(s)=(s-1)\Gamma (s-1) (s>1)$$ $$\Gamma(n+1)=n!$$

2.余元公式

$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{sin(\pi s)}(0<s<1)$$

3.

$$\int^{+\infty}_0u^t e^{-u^2}du=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1+t}{2})(t>-1)$$

定积分的应用
平均值

$$\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dx$$

均方根

$$\sqrt{\frac{1}{b-a}\int^b_af^2(x)dx}$$

向量代数与空间解析几何

三种积

1.数量积

$$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|a||b|cos(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$$

几何意义为a在b上的投影,与b的乘积或者反过来

2.向量积

$$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=|a||b|sin(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$$

方向与a,b成右手螺旋关系,几何意义为a,b平行四边形面积
不满足交换律,交换变符号

3.混合积(懒得加粗了…)

$$[abc]=(a\times b)\cdot c=|a\times b||c|cos(a\times b,c)$$

几何意义为abc所围平行六面体的体积

$$[a b c]=[bca]=[cab]=-[bac]=-[cba]=-[acb]$$

坐标表示

点积

$$a\cdot b=a_xb^x$$

叉积

$$a\times b=\begin{vmatrix} \boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}$$

混合积

$$[\boldsymbol a\ \boldsymbol b\ \boldsymbol c]=\begin{vmatrix} a_x&a_y&a_z \\ b_x&b_y&b_z \\ c_x&c_y&c_z \\ \end{vmatrix}$$

混合积的轮换性质由此可以从行列式的性质推出

曲面方程

$$F(x,y,z)=0$$

…
好像没啥好说的

曲面方程可视化请使用Mathematica ContourPlot3D 函数..

平面方程

貌似也没啥好说的..

好了 高数一 到此结束 内容不多

高数二

多元函数微分

偏导数

实际上单变量函数的导数是偏微分的特殊形式,导数(除了方向导数),都需要依附坐标轴:

$$lim_{\Delta x_j\rightarrow0}\frac{f(x_1,...,x_j+\Delta x_j,...,x_n)-f(x_1,...,x_j,...,x_n)}{\Delta x_j}=\sum_{i=1}^n \partial_{x_j}f\partial_{x_i}x_j$$

如果各个坐标独立也就是$\partial_{x_i}x_j=\delta_{ij}$, 那么,就是偏导数定义,如果不独立,那么就相当于复合函数求偏导的定义
全微分是所有变量同时变化导致的因变量的总体变化的线性近似(无限接近目标点时微分与函数总体变化趋于一致):

$$df(x_1,...,x_i,...,x_n)=\sum_{i=1}^n \partial_{x_i}fdx_i$$

混合偏导数

1.高阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，也就是说，对哪个变量先求偏导数无所谓

$$\partial_{x y}f=\partial_{y x}f$$

复合函数求导

链式法则

$$\partial_{x}f(u_0,u_1,...,u_n) =\sum_i^n\partial_{u_i}f \partial_xu_i$$

复合函数全微分

全微分形式不变 (中间变量与自变量的全微分公式形式上是一样的。。。)
隐函数求导

光滑函数$F(x,y)$构成的方程$F(x,y)=0$, 隐函数$y=f(x)$可以通过方程两边求x的导数得到:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$$

更多元的情况类似

方程组确定的隐函数类似,具体可再重新查阅

方向导数

$\partial{\vec l} f = \partial{xi}f \cdot \theta{x_i}$其中 $\theta_i$ 为 $\vec l$ 的方向余弦 (这里的内积符合爱因斯坦求和约定)

梯度（沿着哪个方向减少/增加最快）

$$\nabla f = \{\partial_{x} f,\partial_{y} f,\partial_{z} f \}$$

梯度 旋度 散度

$\nabla f$

$\nabla\times f$

$\nabla \cdot f$

多元函数微分法的应用

几何： 曲线切线与法平面， 曲面切面与法线

极值，最大值，最小值

二元函数泰勒展开

二阶麦克劳林公式 Mathematica 代码：

ClearAll[maclaurinSeries2D]
maclaurinSeries2D[f_, x_, y_, n_] := Module[{polynomial},
  polynomial = Series[f, {x, 0, n}, {y, 0, n}] // Normal // Expand;
  (*略去高阶项*)
  FromCoefficientRules[
     Select[CoefficientRules[#, Variables@#], Total@First@# <= 3 &], 
     Variables@#] &@polynomial
  ]
  maclaurinSeries2D[E^x Log[1 + y], x, y, 3]

$e^x\rm{ln}(1+y)$ 三阶展开结果与课本上的一致:

$$\frac{x^2 y}{2}-\frac{x y^2}{2}+x y+\frac{y^3}{3}-\frac{y^2}{2}+y$$

重积分

xOy 面内有界闭区域D上的和的极限如果存在, 则 f 的二重积分存在, f可积，记为

$$\iint\limits_D f(x,y){\rm d}\sigma= \iint\limits_D f(x,y){\rm d}x {\rm d}y = {\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i}$$

f 在 D 上连续或者分段连续，二重积分必定存在

主要的性质 1. 线性 2. 区域可加 3. 函数值全部大于等于0,则积分也是 3.1 一个函数值总是大于另一个，则积分也是 3.2 函数积分的绝对值小于等于函数绝对值的积分

Fubini–Tonelli theorem

对多重黎曼积分，如果被积函数是绝对值可积的，那么积分结果与积分变量的次序无关．(但是积分的难易程度会有所不同)

https://zhuanlan.zhihu.com/p/468427090

二重积分的计算

X-型区域的二重积分计算公式

$$\iint\limits_D f(x,y){\rm d}x {\rm d}y = \int_a^b{\rm d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y){\rm dy}$$

Y-型区域的二重积分计算公式

$$\iint\limits_D f(x,y){\rm d}x {\rm d}y = \int_c^d{\rm d}y\int_{\varphi_{1}(y)}^{\varphi_{2}(y)}f(x,y){\rm dx}$$

利用Mathematica的Integrate 结合Region, ImplicitRegion 可以方便的求解课本上的积分：

Integrate[
 x y, {x, y} \[Element] Region[Triangle[{{1, 1}, {2, 1}, {2, 2}}]]
 ]
Integrate[
 x y, {x, y} \[Element] 
  ImplicitRegion[y^2 <= x &&  y >= x - 2, {x, y}]]
Integrate[
 x Sin[y]/y, {x, y} \[Element] 
  ImplicitRegion[y <= Sqrt[x] &&  y >= x, {x, y}]]
  

极坐标二重积分计算公式：

$$\iint\limits_D f(x,y){\rm d}x {\rm d}y = \iint\limits_D f(rcos\theta,rsin\theta)r{\rm d}r {\rm d}\theta$$

三重积分

与二重积分类似

换元法

通过计算雅可比行列式，可得换元后的积分公式

$$\iint_D f(x, y) d x d y=\iint_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| d u d v$$ $$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d x d y=\iiint_{\Omega^{\prime}} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J(u, v, w)| d u d v d w$$

ClearAll[jacobiDet2D, jacobiDet3D]
jacobiDet2D[{x_, y_}, {u_, v_}] := 
 FullSimplify@Det[Outer[D, {x, y}, {u, v}]]
jacobiDet3D[{x_, y_, z_}, {u_, v_, w_}] := 
 FullSimplify@Det[Outer[D, {x, y, z}, {u, v, w}]]
jacobiDet2D[{r Cos[\[Theta]], r Sin[\[Theta]]}, {r, \[Theta]}](*极坐标*)
jacobiDet3D[{r Cos[\[Theta]], r Sin[\[Theta]], z}, {r, \[Theta], 
  z}] (*柱坐标*)
jacobiDet3D[{r Cos[\[Theta]], r Sin[\[Theta]], 
  r Cos[\[Phi]]}, {r, \[Phi], \[Theta]}](*球坐标*)
jacobiDet3D[{a r Cos[\[Theta]], b r Sin[\[Theta]], 
  c r Cos[\[Phi]]}, {r, \[Phi], \[Theta]}](*广义球面坐标，三维区域由椭圆球面围成时，比较方便*)

重积分的应用

空间立体的体积，曲面的面积，质量，重心，转动惯量，引力

曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分